投資組合最佳化有用嗎？台股 ETF 八年半實測：max-Sharpe 夏普 1.04，
輸給 1/N 等權的 1.20

把現代投資組合理論（MPT）搬進台股 ETF：每月用過去一年的報酬資料，解出教科書上「理論最佳」的兩組權重（夏普最高的 max-Sharpe 組合、波動最小的 min-variance 組合），再跟最簡單的 1/N 等權同場比八年半。這篇的性質比較像潑冷水的檢驗報告：風險調整後，兩種最佳化都沒有贏過把資金均分成四份。下面有完整的公式推導、效率前緣畫法、權重求解過程，以及「數學上最佳」為什麼在樣本外經常落敗的拆解。

三個值得記住的數字：1/N 的日夏普 1.20，在三組配置中最高；max-Sharpe 的年化報酬 15.52% 比 1/N 高 1.4 個百分點，但波動多了三成、回撤更深；單壓 0050 在這段台股大多頭裡年化報酬最高，代價是 -33.96% 的最大回撤。回測區間 2018-01-01 至 2026-06-09，所有數字由 finlab 套件實跑產出，文末附完整程式碼與淨值資料下載。

為什麼需要投資組合模型

手上同時有台股、美股、債券，各放多少？直覺會說「債券穩，多放一點」，但多放多少才對？反過來問：如果想要一個最大跌幅控制在 -10% 左右的組合，股債比該是幾比幾？網路上常見的 60/40、80/20，又是誰算出來的？

投資組合模型就是回答這些問題的數學工具：把每個資產的報酬與風險量化，求解「給定風險下報酬最高」或「給定報酬下風險最低」的資金分配。Markowitz (1952) 的〈Portfolio Selection〉是這條路的起點：它第一次把報酬（期望值）與風險（變異數）放進同一個最佳化問題，整套框架後來被稱為現代投資組合理論，Markowitz 也因此獲得 1990 年諾貝爾經濟學獎。

有趣的對照是，理論之父自己未必照著理論做。Markowitz 在接受財經作家 Jason Zweig 訪問時說過，他的退休金用的是股債對半的簡單配置，理由是讓未來的後悔最小化。這則軼事背後有嚴肅的學術支撐：DeMiguel, Garlappi & Uppal (2009) 在七組市場資料上測試了 14 種最佳化模型，發現沒有任何一種能在樣本外穩定贏過 1/N 等權，原因是參數估計誤差吃掉了理論上的增益。本文要做的，就是把這場「理論最佳 vs 均分等權」的對決，搬到台灣投資人實際買得到的 ETF 上重打一次。

報酬與風險怎麼量化

報酬模型：權重的加權平均

假設資金分配到一組資產 $\mathbb{P}$，第 $p$ 檔資產的權重是 $w_p$、一段期間的報酬率是 $r_p$，組合報酬就是加權平均：

粗體的 $\mathbf{w}$ 與 $\boldsymbol{\mu}$ 是權重向量與期望報酬向量。限制式 $\sum w_p = 1$ 的意思是把一塊大餅切給各資產，本文另外加上 $w_p \ge 0$（不放空、不開槓桿）。最佳化的目標之一，就是找一組 $\mathbf{w}$ 讓 $r^*$ 變大；但這個「變大」建立在一個關鍵假設上：未來的報酬分布跟估計用的歷史樣本相近。這個假設成不成立，正是後面實測要回答的問題。

風險模型：變異數與相關係數

風險的定義不只一種：有人看最大回撤，有人看下行波動，MPT 選了數學上最好處理的變異數。組合變異數由權重與共變異數矩陣 $\Sigma$ 決定：

兩檔資產的特例把它展開，可以看見相關係數 $\rho$ 扮演的角色：

$\rho$ 越低，第三項越小甚至為負，組合波動就越低。分散投資的全部數學內涵都濃縮在這一項。

夏普比率：一個分數同時看報酬與風險

報酬要高、風險要低，兩個目標常常打架，需要一個綜合分數。夏普比率把超額報酬除以波動：

$r_f$ 是無風險利率（本文取 0 以簡化，詳見回測方法一節）。夏普比率的判讀與計算口徑，可參考夏普比率工具頁；其他名詞的標準定義收錄在詞彙表。

兩資產小算盤：分散為什麼是免費的午餐

用一組示意性數字示範公式怎麼算（僅為計算示例，非任何實際商品的報酬）：資產 A 年化報酬 8%、波動 20%；資產 B 年化報酬 3%、波動 5%；兩者相關係數 -0.2。配置 60% 的 A、40% 的 B：

• 組合報酬：$0.6 \times 8\% + 0.4 \times 3\% = 6.0\%$
• 組合變異數：$0.6^2 \times 0.20^2 + 0.4^2 \times 0.05^2 + 2 \times 0.6 \times 0.4 \times (-0.2) \times 0.20 \times 0.05 = 0.01384$
• 組合波動：$\sqrt{0.01384} \approx 11.8\%$

如果兩資產完全同漲同跌（$\rho = 1$），組合波動會是兩者的加權平均 14%。負相關把波動從 14% 壓到 11.8%，報酬一毛沒少，這 2.2 個百分點就是分散的「免費午餐」。它當然也有另一面：分散同時稀釋了單壓最強資產的報酬，這個代價在過度分散如何攤薄超額報酬有完整的實測。

用真資料畫出效率前緣

理論講完，換真資料。股池選四檔台灣投資人都買得到、性質互補的 ETF：

相關係數矩陣透露了分散效果的來源：兩檔台股 ETF 相關高達 0.79，台股與美股之間 0.57 ~ 0.62，真正的低相關全部來自美債那一檔（對三檔股票 ETF 介於 -0.11 到 -0.06）。換句話說，這個股池的分散效果幾乎由 00679B 一檔扛起，而它同時也是樣本內唯一年化報酬為負的資產，這個矛盾會貫穿整篇文章。0056 與其他高股息 ETF 的比較，另見 0056、00878、00919 三大高股息 ETF 量化 PK。

接著用蒙地卡羅法隨機產生 5 萬組權重，每組算出年化報酬與波動，畫在報酬-風險平面上：

這張圖有幾個讀法。第一，所有可能的配置只會落在一個有邊界的區域內，左上邊界就是效率前緣（efficient frontier）：同樣的風險下報酬最高的那條線。第二，顏色代表夏普比率，越往左上越高。第三，圖上兩顆星是兩個有名字的特殊解：紅星是 max-Sharpe 組合（全段樣本內的解為 0050 占 46%、0056 占 36%、00646 占 10%、00679B 占 8%），藍星是 min-variance 組合（0056 占 30%、00646 占 20%、00679B 占 50%、0050 為 0%）。直觀上，現金會落在這張圖的左下角（無風險也無報酬），單一股票會落在右上方，配置的目標是往左上角擠。

要強調的是：這張圖用的是 2018-01 到 2026-06 的全段資料，屬於事後才畫得出來的樣本內結果。星星的位置是「當時不可能知道」的，把它當成可實現的績效是常見的誤讀。

從蒙地卡羅到閉式解

蒙地卡羅是暴力法，數學上其實有解析解。允許放空時，最小變異數組合與切線（max-Sharpe）組合分別是：

兩條公式都要對共變異數矩陣求逆，這個 $\Sigma^{-1}$ 後面會再出現，它是估計誤差被放大的主要通道。另外，閉式解允許權重為負（放空），與本文「長倉、無槓桿」的設定不符，所以實測時改用 2% 步距的格點掃過全部 23,426 組合法權重，在格點上取波動最小與夏普最高的兩組。格點法的好處是透明：每一組權重都算得出來，沒有黑箱。

樣本外實測：每月重解一次「理論最佳」

效率前緣是用歷史畫的，實戰只能用過去估未來。所以實測採 walk-forward 設計：每個月底，只用截至當天的過去 252 個交易日日報酬估計 $\boldsymbol{\mu}$ 與 $\Sigma$，解出兩組最佳權重，下個月生效。對策略而言，每一個月的權重都是事前可得的資訊，績效屬於樣本外。回測的基本觀念與常見陷阱，可參考回測是什麼。

八年半（2018-01 ~ 2026-06）的完整結果：

上方嵌入的是 1/N 等權組合的互動回測報告；max-Sharpe 組合的完整報告可以另開視窗檢視。

幾個重要判讀：

• 日夏普由 1/N 領先：1.20 對上 max-Sharpe 的 1.04 與 min-variance 的 0.92。max-Sharpe 唯一領先的風險調整指標是月索提諾（1.88 對 1.63），其餘指標全數落後等權。
• min-variance 拿到了最低波動（10.01%），卻沒拿到最低回撤：它的最大回撤 -23.52% 比 1/N 的 -22.21% 還深，原因見下一節的權重圖。
• 0050 單壓的年化報酬與日夏普都是全場最高，這是 2018 到 2026 台股大多頭的時代背景；配置組合付出報酬，買到的是把 -33.96% 的回撤壓到 -22% ~ -26% 的防禦力。「該不該為了回撤放棄報酬」沒有標準答案，但至少這筆交換的價格現在有了數字。

權重圖揭露了兩種最佳化各自的性格。min-variance 平均把 48% 的資金放在美債、32.5% 放 0056，0050 平均只拿到 0.8%：它如實執行了「找波動最低的組合」這個指令，卻因此重押了樣本內報酬為負的資產。max-Sharpe 的平均權重看起來分散（0050 占 24%、0056 占 23.2%、00646 占 33.7%、00679B 占 19%），但右圖顯示每月權重整檔跳動，目標權重月均變動 22.1%，相當於平均每月要把超過五分之一的資金搬家，交易成本與執行難度都跟著上升。

回撤圖則回答了 min-variance 為什麼防禦失靈：2022 年美國暴力升息，股債齊跌，美債 ETF 同步重挫，原本指望的保險在最需要的時候沒有理賠。低波動資產與低回撤資產是兩回事，波動最小化只在「歷史相關性延續」的前提下等於風險最小化，而 2022 正是相關性結構翻臉的一年。

為什麼「數學最佳」輸給「均分四份」

這個結果並非台股特例，學界已經給過系統性的解釋，核心是估計誤差：

期望報酬幾乎估不準。 公式裡的 $\boldsymbol{\mu}$ 用過去一年日報酬的平均數估計，雜訊極大。max-Sharpe 對 $\boldsymbol{\mu}$ 高度敏感，實際行為退化成「過去一年誰最強就重押誰」，在趨勢延續的行情有利、在風格切換的行情吃虧，後面的分段檢查把這兩種情境都抓了出來。

矩陣求逆放大雜訊。 閉式解與格點解都依賴 $\Sigma$ 的估計，而最佳化過程會優先利用矩陣裡「看起來相關性最美好」的角落，這些角落往往正是雜訊。Ledoit & Wolf (2004) 提出的收縮估計是主流修補：把樣本共變異數矩陣 $S$ 往一個結構化目標 $F$ 拉，$\hat{\Sigma}_{\text{shrink}} = \delta F + (1 - \delta) S$，犧牲一點偏誤換取大幅降低的變異。本文未實作收縮估計，它屬於「讓最佳化真的有用」的下一步。

需要的資料量大得不切實際。 DeMiguel 等人在同一篇論文估計：以 25 檔資產的組合而言，均值-變異數模型要在樣本外穩定贏過 1/N，需要約 3,000 個月（250 年）的資料來估參數。本文只用四檔資產，估計負擔輕得多，最佳化仍然沒有勝出。

反過來看 1/N 的優勢：它沒有任何參數、沒有估計誤差、目標權重永遠不動，而且每月再平衡自帶「漲多的賣一點、跌深的補一點」的紀律。它輸掉的是理論最適性，贏回來的是穩健性。

穩健性檢查

單一窗口的結論可能只是運氣，所以補兩組檢查。

分段期間：最佳化的好壞看行情臉色

max-Sharpe 在 2024 年之後的單邊多頭大放異彩（年化 43.62%、夏普 2.05），因為「重押過去一年最強資產」在趨勢行情裡就是動能策略；但 2018 ~ 2020 風格多次切換，它的夏普只有 0.55，全場墊底。1/N 三段夏普 1.23、0.63、1.74，沒有任何一段墊底，它的價值是穩定，而它的對手每一段都在大好與大壞之間擺盪。

估計視窗敏感度：參數一動，結論就晃

把估計視窗從 252 日換成 126 日與 504 日，在三種視窗都可行的共同窗口（2019-07 起）比較：

max-Sharpe 的夏普在 0.81 到 1.19 之間晃動，最好的版本（252 日）仍輸給同窗口的 1/N（1.23）。對「估計視窗長度」這個參數如此敏感，本身就是脆弱性的證據：如果一個方法的成敗取決於你恰好選對回看天數，它在事前是不可依賴的。

回測方法與限制

最早一期權重估計（2017 年底）因 00679B 上市未滿一年，實際可用約 200 ~ 235 個交易日，其後每期皆為完整 252 日。

用 finlab 自己跑一遍

核心程式碼如下，from finlab import data 執行時套件會自動引導登入：

import itertools
import numpy as np
import pandas as pd
from finlab import data
from finlab.backtest import sim
 
# 載入四檔 ETF 的還原價（含息）
etfs = ["0050", "0056", "00646", "00679B"]
adj = data.get("etl:adj_close")
prices = adj[etfs].dropna()
rets = prices.pct_change().dropna()
 
# 建立 2% 步距的權重格點（四檔權重加總 = 1，共 23,426 組）
n = 50
grid = []
for a, b, c in itertools.product(range(n + 1), repeat=3):
    d = n - a - b - c
    if d >= 0:
        grid.append((a, b, c, d))
w_grid = np.array(grid) / n
 
# 每月底用過去 252 個交易日，解出 max-Sharpe 權重
weights = {}
for t in rets.resample("ME").last().index:
    hist = rets[rets.index <= t].tail(252)
    if len(hist) < 200:
        continue
    mu = hist.mean().values
    cov = hist.cov().values
    port_ret = w_grid @ mu
    port_vol = np.sqrt(np.einsum("ij,jk,ik->i", w_grid, cov, w_grid))
    weights[t] = w_grid[(port_ret / port_vol).argmax()]
 
# 權重表交給 finlab 回測（預設含手續費與證交稅）
position = pd.DataFrame(weights, index=etfs).T
report = sim(position, resample="M", upload=False)
report.display()

把 argmax 那行換成 port_vol.argmin() 就是 min-variance，把權重表換成 pd.DataFrame(0.25, ...) 就是 1/N 等權。完整版（含三組對照、0050 基準與指標計算）可直接下載：

常見問題

效率前緣是什麼？

把所有可能的資產權重組合畫在「報酬-風險」平面上，會形成一個有邊界的區域；同樣風險下報酬最高的那條左上邊界就是效率前緣。位在前緣上的組合，找不到「報酬更高且風險更低」的替代品。

投資組合最佳化和資產配置有什麼不同？

資產配置是「決定錢怎麼分」這件事的總稱，方法可以是固定比例（股債 60/40）、等權，或最佳化。投資組合最佳化是其中一種方法：用數學求解某個目標（如夏普最大）下的最適權重。本文的實測顯示，方法更複雜未必結果更好。

股債 60/40、80/20 的比例是怎麼來的？

60/40 源自美國機構投資人的長期慣例：60% 股票提供成長、40% 債券壓波動，恰好落在多數退休金能接受的風險帶。它本質上是效率前緣上「風險中庸」區段的一個粗略近似，並沒有放諸四海皆準的數學必然性；風險承受度不同，最適比例就不同。美股版的股債配置實測見 SPY 加 TLT 低風險投資組合。

1/N 等權這麼簡單，為什麼這麼難贏？

因為它沒有需要估計的參數。最佳化的理論增益要靠準確的期望報酬與共變異數估計來兌現，而這兩者（尤其期望報酬）的樣本誤差極大；當估計誤差吃掉的比理論賺到的多，排名就反轉。DeMiguel 等人的研究與本文的台股 ETF 實測，看到的是同一件事。

min-variance 波動最低，為什麼最大回撤反而比 1/N 深？

它依照歷史共變異數重押了低波動的美債（平均 48%），而 2022 年股債齊跌，歷史負相關失效，美債在最需要防禦時同步下跌。波動最小化保證的是「歷史口徑下」的低波動，並不保證未來的低回撤。

蒙地卡羅模擬要跑幾組權重才夠？

看資產數量。四檔資產時，5 萬組隨機權重已能把可行區域畫得很密；本文求解時改用 2% 格點（23,426 組），因為格點能保證掃過所有角落組合（例如 100% 單押），隨機抽樣反而容易漏掉極端點。資產一多，格點數量爆炸，就得改用閉式解或數值最佳化。

這套方法可以拿來配置自己的多個策略嗎？

可以，把「資產的日報酬」換成「策略的日報酬」，整套流程原封不動。不過策略報酬的歷史通常更短、過擬合風險更高，估計誤差問題只會更嚴重；用分群替代逐一估計的做法，見用 Hierarchical Clustering 配置多策略投資組合。

回測沒贏 1/N，投資組合最佳化就沒用了嗎？

結論是「天真的最佳化很難贏」，而非整個方向無效。收縮估計（Ledoit-Wolf）、對權重加上下限、把期望報酬換成更穩健的先驗（如 Black-Litterman），都是已知能縮小估計誤差的改良。在那之前，1/N 加上紀律性的再平衡，是一個被學術文獻與本文數據同時支持的務實起點。

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投資有風險，過去績效不代表未來表現。本內容僅供教學參考，不構成投資建議，請依個人風險承受度審慎評估。

最後更新：2026-06｜回測區間：2018-01 ~ 2026-06（資料截止 2026-06-09）｜作者：FinLab 量化研究團隊（經量化研究員審閱）