LPPL 泡沫模型實測：股市崩盤預測原理、Python 實作與 0050 擇時回測（八年僅一次警報且為誤報）

股市崩盤前，價格往往越漲越快，且伴隨節奏越來越密的震盪。LPPL 泡沫模型（Log-Periodic Power Law，對數週期冪律模型）把這兩個特徵寫成一條可以擬合的方程式，從價格本身推估崩盤機率最高的時間區間。本文拆解這個模型的原理與公式，再用 finlab 的台股資料對 0050 的 435 個觀測日做 8,265 次 LPPL 擬合，把「泡沫警報」變成可回測的擇時訊號，檢驗它在台股大盤上到底有沒有用。

回測結論的關鍵數字（2018-01 至 2026-06，數據截至 2026-06-09）：

這是一個負面結果：在本文的設定下，LPPLS 擇時沒有打敗 0050 買進持有，最大回撤也一分沒少。八年半只觸發一次出場警報（2025-10-13），之後 0050 收盤最低只比訊號日低 2.4%，到資料截止日反而上漲了 72.1%。模型的原理依然漂亮、文獻戰績依然存在，但「對單一台股指數做擇時」這個用法，經過嚴格口徑的檢驗後並不成立。整個檢驗過程與可重現的程式碼，比結論本身更值得留下來。

股市崩盤可以預測嗎？LPPL 模型的歷史紀錄

LPPL 模型出自地球物理學家 Didier Sornette 的研究團隊。Johansen, Ledoit & Sornette (2000) 在〈Crashes as critical points〉中主張：金融崩盤類似物理系統的相變，當市場中交易者的模仿行為累積到臨界點，系統會在某段時間附近以高機率瓦解；崩盤前的價格因此呈現「超指數成長」加上「對數週期震盪」兩個可觀測的特徵。

這個模型最常被引用的應用案例包括：

• 1990 年代末的納斯達克與 2000 年科技泡沫
• 2006 至 2007 年的美國房市相關資產
• 2008 年中的原油價格泡沫
• 2015 年的上海股市泡沫（研究團隊在崩盤前公開發布預警，事後分析發表於 Sornette et al. (2015)）
• 2017 年底的比特幣泡沫

要把這份戰績讀得精確：LPPL 推估的臨界時間 $t_c$ 是「崩盤機率最高的時間區間」，模型本身允許泡沫在 $t_c$ 之前就破裂，也允許價格在 $t_c$ 之後平緩消化而不崩盤。把它當成日曆上圈好的崩盤日，是對這個模型最常見的誤用，也是本文回測想量化的問題。

泡沫的成因：從眾者與自主者的群體動力學

LPPL 的數學推導借用了統計物理，但背後的市場直覺很簡單。想像市場由兩類交易者組成：一類是「自主者」，依自己的研究判斷買賣；另一類是「從眾者」，看到別人買就跟著買、看到別人賣就跟著賣。每個人在不同時刻可能扮演不同角色，兩類人的訊息在市場網絡中不斷交換、互相影響。

平時，自主者的分歧意見讓市場保持多樣性，價格漲跌互現。但在泡沫後期，賺錢效應讓越來越多人放棄獨立判斷、加入從眾陣營，整個網絡的「一致性」越來越高。當一致性逼近臨界點，只要一個小擾動，幾乎所有人會在同一瞬間做出相同的賣出決定，價格於是崩跌。這就是「崩盤是內生的」這個觀點：壓垮市場的是結構本身的脆弱，外部利空只是扣下扳機。

這個機制同時對應 LPPL 公式的兩個特徵：模仿網絡的正回饋造成超指數上漲；而群體在「續漲」與「獲利了結」之間的拉鋸，造成節奏越來越快的週期性震盪。

LPPL 公式拆解：三個元素

LPPL 模型把泡沫期的對數價格期望值寫成：

各參數的意義：

把公式拆成三個元素看：

1. 冪律超指數趨勢 $A + B(t_c - t)^m$：一般的指數成長在對數座標上是直線，泡沫的對數價格卻向上彎曲，漲速本身在加速，並在 $t_c$ 處到達數學上的奇異點。
2. 對數週期震盪 $\cos(\omega \ln(t_c - t) - \phi)$：價格圍繞趨勢上下擺動，且因為自變數是 $\ln(t_c - t)$，離 $t_c$ 越近震盪週期越短，視覺上像彈簧被越壓越緊。
3. 臨界點 $t_c$：趨勢與震盪共同指向的時間奇異點，也是模型輸出的核心。

用一組虛構數字算一次 LPPL

以下用一家虛構公司的參數示範公式怎麼算（純屬教學示例，並非任何回測數據）。設 $A=\ln(200)\approx 5.30$、$B=-0.18$、$m=0.5$、$C=0.03$、$\omega=8$、$\phi=0$，臨界時間 $t_c$ 在第 300 個交易日。把不同的 $t$ 代入公式：

注意兩件事：第 200 到 250 天花了 50 天從 40.2 元漲到 69.1 元，而第 295 到 299 天只花 4 天就從 142.6 元漲到 172.1 元，這就是「漲速本身在加速」；同時震盪項的正負與大小隨 $\ln(t_c-t)$ 擺動，造成價格沿途的高低起伏。反過來，當你在真實股價上量到這種結構，模型就能回推出那個共同指向的 $t_c$。

把公式套到真實股價：校準與線性化

擬合（校準）的目標是找一組參數 $\theta = (A, B, C, m, \omega, \phi, t_c)$，讓模型曲線與實際對數價格的殘差平方和最小：

困難在於這是 7 個參數的非線性最佳化，目標函數佈滿局部最小值。本文 2020 年的第一版用遺傳演算法暴力搜尋全部 7 個參數，跑一次要數分鐘，而且每次執行結果都不同，這也是早期 LPPL 研究常被批評「同一份資料、兩篇論文、兩個答案」的原因。

Filimonov & Sornette (2013) 提出的線性化解掉了這個問題：把震盪項展開成 $C_1 \cos + C_2 \sin$ 之後，模型對 $(A, B, C_1, C_2)$ 是線性的，給定 $(t_c, m, \omega)$ 就能用最小平方法一步解出：

於是非線性搜尋空間從 7 維降到 3 維，用一般的數值最佳化（本文採多起點 Nelder-Mead 搭配固定亂數種子）就能穩定收斂，單一窗格的擬合時間從分鐘級降到毫秒級，結果也完全可重現。這是把 LPPL 從學術玩具變成每天可以跑的指標的關鍵一步。

LPPLS 信心指標：從單一擬合到機率讀數

單一窗格的擬合仍然脆弱：換一個起始日，$t_c$ 可能差很多。Sornette et al. (2015) 在上海股災的實戰研究中使用的解法，是把「對窗格的敏感度」本身變成指標，稱為 LPPLS 信心指標（LPPLS Confidence Indicator）：

具體做法：在每個觀測日，取多個不同長度的回看窗格（本文用 30 到 120 個交易日、間隔 5 天，共 19 個），每個窗格各做一次擬合，再用參數過濾條件判斷該擬合是否描述了一個結構完整的泡沫。本文採用的過濾條件：

• 冪律指數 $0.01 < m < 1.2$，且 $B < 0$（向上加速為正泡沫；$B > 0$ 則記為負泡沫，即超跌結構）
• 角頻率 $2 < \omega < 25$
• $t_c$ 落在窗格結尾附近：$t_2 - 0.05\,dt \le t_c \le t_2 + 0.1\,dt$（$dt$ 為窗格長度）
• 窗格內至少 2.5 次完整震盪：$\frac{\omega}{2\pi}\ln\frac{t_c-t_1}{t_c-t_2} > 2.5$
• 阻尼比 $\frac{m|B|}{\omega|C|} > 0.8$，確保趨勢項主導、震盪不至於蓋過趨勢

舉例來說，若某日 19 個窗格中有 6 個通過正泡沫過濾，當日正泡沫信心值就是 $6/19 \approx 0.32$，讀法是「約三分之一的時間尺度都看到同一個泡沫結構」。信心值越高，代表訊號對窗格選擇越不敏感，越值得當一回事。

Python 實作：用 finlab 資料計算 0050 的 LPPLS 信心指標

實作只需要一張還原股價表。用 finlab 套件取得含息還原價，核心的設計矩陣與單窗格擬合：

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize
from finlab import data
 
# 取 0050 含息還原價（finlab 會自動引導登入）
adj_close = data.get("etl:adj_close")
price = adj_close["0050"].dropna()
log_price = np.log(price.values)
 
def lppl_design_matrix(t, tc, m, w):
    """Filimonov-Sornette 線性化：給定 (tc, m, omega)，
    線性參數 (A, B, C1, C2) 用最小平方法解。"""
    dt = np.abs(tc - t) + 1e-8
    f = dt ** m
    g = f * np.cos(w * np.log(dt))
    h = f * np.sin(w * np.log(dt))
    return np.column_stack([np.ones_like(t), f, g, h])
 
def lppl_sse(theta, t, y):
    """殘差平方和：非線性參數只剩 (tc, m, omega) 三個。"""
    tc, m, w = theta
    X = lppl_design_matrix(t, tc, m, w)
    coef, _, _, _ = np.linalg.lstsq(X, y, rcond=None)
    residual = y - X @ coef
    return float(residual @ residual)
 
def fit_window(t, y, rng, n_starts=6):
    """多起點 Nelder-Mead 搜尋，rng 固定種子確保可重現。"""
    t2 = t[-1]
    window_length = t[-1] - t[0] + 1
    bounds = [
        (t2 - 0.2 * window_length, t2 + 0.2 * window_length),  # tc
        (0.01, 1.99),                                          # m
        (2.0, 25.0),                                           # omega
    ]
    best = None
    for _ in range(n_starts):
        x0 = np.array([rng.uniform(lo, hi) for lo, hi in bounds])
        result = minimize(lppl_sse, x0, args=(t, y),
                          method="Nelder-Mead", bounds=bounds)
        if best is None or result.fun < best.fun:
            best = result
    return best

完整版（含 19 個窗格的滾動計算、過濾條件、信心指標彙總與 finlab 回測）整理成可下載的 strategy.py，在一般筆電上跑一次約幾分鐘；所有亂數都釘了種子，每次執行會得到相同的數字。

回測：LPPLS 擇時能不能打敗 0050 買進持有？

有了每日的正、負泡沫信心值，就能設計一個大盤級的擇時規則。先看 0050 在 2018 到 2026 年的信心指標全景：

整段期間，正泡沫信心值達到 0.1 以上的只有三波：2019 年 11 月初（約 0.105，持續一週後消退；三個多月後發生疫情崩盤，但訊號早已歸零）、2021 年 1 月下旬（約 0.1 到 0.16，首個訊號日為 2021-01-21；訊號出現後六個交易日內 0050 一度下跌 8.4%，反彈後 4 月見波段高點、5 月中再回檔，最低點較首個訊號日低 9.6%。這一波訊號之後確實跟著一段跌勢，但信心值始終沒越過 0.2 的出場門檻，策略並未因此出場）、以及 2025 年 10 月（全期最高 0.32）。負泡沫這一側更冷清：八年半只有 2022 年 10 月出現過一次非零讀數，最高 0.053，落在 2022-10-20，剛好在那輪空頭的底部附近；方向耐人尋味，但強度遠低於任何可操作的門檻。2020 年 3 月的疫情崩盤前後，正、負泡沫讀數都是零，V 型急跌並不符合模型假設的「結構在窗格內慢慢累積」。

下圖是回測期間正泡沫信心值最高的一天，以及當天通過過濾的最佳擬合曲線與 $t_c$ 估計區間：

2025-10-13 這天，19 個窗格中有 6 個通過正泡沫過濾（信心值 0.32），合格擬合來自 60 到 100 天的窗格，推估的 $t_c$ 集中在觀測日之後 2 到 4 個交易日。事後看，0050 接下來八個月又漲了 72.1%。期間最低收盤價出現在 2025-11-24，僅較訊號日低 2.4%；若以峰谷計算，這八個月內的最大回撤為 -10.8%（2026 年 2 月下旬高點跌至 2026-03-31 低點），但那已是價格遠高於訊號日之後的事。對照模型推估「觀測日後 2 到 4 個交易日」的臨界區間，這次警報是清楚的誤報。

擇時規則用最簡單的狀態機，避免事後挑訊號：

結果（2018-01 至 2026-06）：

分段期間的表現：

三段拆開看，輸的原因一目瞭然。2021 到 2023 兩者數字完全相同：這段期間沒有任何訊號越過門檻，策略全程持有，把 2022 年 -33.96% 的回撤原封不動吃下來，這正是「最大回撤一分沒少」的來源。2018 到 2020 的小差距來自 sim() 的進場成本與次日成交時滯。2024 到 2026 的差距則全部來自 2025 年 10 月那次誤報：出場後 0050 續漲，兩週後以高約 3.9% 的價格買回，加上一來一回的交易成本。一次誤報，八年的擇時努力就輸給了什麼都不做。

互動式回測報告可以拉開看每一筆進出：

穩健性檢查：出場門檻的敏感度

0.2 這個門檻會不會剛好挑到最差的參數？把出場門檻從 0.1 掃到 0.3（回補門檻同步設為出場門檻的一半），各門檻的結果：

五種門檻全部輸給買進持有，最大回撤一律 -33.96%，等於沒有躲過任何一次大跌。把門檻調低只是讓誤報變多（0.1 時六筆進出），並不會把真正的大跌抓出來。換句話說，結論對參數不敏感：問題出在訊號本身稀疏，而非門檻挑錯。這比「調出一組會贏的參數」更有參考價值，後者在這種訊號結構下只會是過擬合，判斷方法可以參考回測過擬合機率的實測。

回測方法與限制

這些數字是怎麼算出來的，逐項交代：

LPPL 的限制與學術批評

把本文的負面結果放進文獻脈絡，有三件事要知道。

可證偽性的批評。 Brée & Joseph (2013) 系統性檢驗了 LPPL 對歷史崩盤的擬合，指出模型自由度高、結果對擬合區間敏感，部分宣稱的預測成功有事後選擇之嫌。這也是本文堅持固定種子、固定過濾條件、把所有窗格的通過比例攤開成信心指標的原因：與其展示一條挑過的漂亮擬合曲線，把失敗的窗格一起算進分母更接近真相，而真相是訊號很稀疏。

$t_c$ 是機率峰值，拿它對日曆會失望。 模型輸出的是「結構最可能瓦解的時間區間」，本文擬合案例的 $t_c$ 也只是觀測日後幾天的一個區間估計。2025 年 10 月的案例顯示，即使 6 個時間尺度同時指向同一個 $t_c$，市場仍然可以再漲 72%。

個股不適用。 LPPL 只看價格結構，不看財報、月營收、籌碼。本文 2020 年的第一版曾把模型套在個股日馳（1526）上，用遺傳演算法擬合出「約 180 個交易日後崩盤」的推估；事後看，個股受大戶買賣與訂單消息的影響遠大於群體模仿動力學，那次擬合沒有參考價值，本次改版直接把它當成反面教材保留在這段。指數與大型 ETF 的參與者夠多、夠分散，才比較接近模型假設；即使如此，本文在 0050 上的結果仍然是負面的。想對個股做系統化的泡沫應用，請看用全市場統計取代單檔擬合的 LPPLS 選股做法。

比特幣與美股也能測

LPPL 只需要價格序列，任何市場都能套用。我們做了一個免費的 Colab 泡沫檢測器，輸入任何 Yahoo Finance 收錄的代號（美股、台股、比特幣 BTC-USD 都可以）就能跑出擬合結果與 $t_c$ 推估。2017 年底的比特幣正是 LPPL 文獻中的經典案例：超指數上漲與越來越密的震盪都很典型，崩盤也確實落在臨界區間附近。但提醒一句：本文在 0050 上得到的負面擇時結論，說明「文獻案例成立」與「在你的市場、你的口徑下可操作」是兩回事，跨資產使用前請各自回測驗證。

那 LPPL 還有什麼用？

回測輸了，模型不必丟掉，但定位要改。

• 不要當大盤擇時開關。 本文已經量化了代價：八年半的等待換來一次誤報，CAGR 少 1.12 個百分點，回撤完全沒降。同樣想做大盤風控，融資維持率的 0050 擇時有更高的訊號密度可以比較。
• 當成全市場掃描的篩選器。 單一指數的合格擬合很稀有，但對兩千檔個股同時掃描，每天都會有分數分佈可以統計。這正是 LPPLS 泡沫選股策略的做法：不問「大盤何時崩」，改問「哪些股票正處於小泡沫」，把稀疏訊號變成可分組回測的因子。
• 負泡沫讀數留做研究線索。 2022 年 10 月那次全期唯一的負泡沫訊號恰好落在空頭底部附近，樣本只有一次、不構成任何結論，但值得在更多市場與更長歷史上驗證。想找超跌反轉的標的，當前可操作的做法仍是大跌後用 Python 篩選強勢股，或用 VIX 恐慌指數的抄底回測從情緒面切入；LPPL 的負泡沫與 VIX 的買進訊號邏輯獨立，未來可以交叉驗證。

想把這類訊號研究納入完整的交易流程，可以從量化交易完整指南入門，了解程式交易如何把規則自動化；上線前建議先讀回測的侷限性，本文就是「先回測、再決定要不要信」的一次示範。

常見問題

LPPL 模型可以算出崩盤的確切日期嗎？

不行。$t_c$ 是崩盤機率最高的時間區間的中心，合格擬合之間的 $t_c$ 常相差數天到數週，且模型允許泡沫提早破裂或平緩消化。本文 2025 年 10 月的案例中，6 個窗格的 $t_c$ 都指向觀測日後幾天，市場之後卻又漲了 72.1%。

LPPLS 信心值多高才算危險？

在本文 0050 的八年半樣本中，99% 的交易日正泡沫信心值不超過 0.053，唯一一次超過 0.2 的警報事後是誤報，所以「多高算危險」在台股大盤上還沒有可靠答案。比起絕對水位，把它當成眾多風險讀數之一、觀察它從 0 快速爬升的過程，比設定單一門檻務實。

LPPL 適合用在個股嗎？

不建議。個股價格被特定大戶、訂單與事件主導，偏離「大量小交易者互相模仿」的模型假設；本文 2020 年版對日馳的單檔擬合就是反例。個股層級請改用全市場統計的 LPPLS 泡沫選股做法。

LPPL 擇時和 VIX 擇時有什麼不同？

LPPL 從價格時間序列的內生結構（超指數上漲、對數週期震盪）推估泡沫；VIX 是選擇權隱含波動率，反映市場當下的恐慌定價。前者是事前的結構警報，後者是事中的情緒溫度計。本文顯示前者在 0050 上訊號太稀疏，後者的實測見 VIX 美股大跌投資法。

為什麼我的 LPPL 擬合結果每次都不一樣？

因為目標函數有大量局部最小值，隨機起點的最佳化每次會落到不同的解。解法是 Filimonov-Sornette 線性化（線性參數解析求解）加上固定亂數種子的多起點搜尋，本文可下載的程式碼已內建，重跑會得到相同數字。

需要多強的程式背景才能重現本文結果？

會安裝 Python 套件、能執行一個腳本即可。下載 strategy.py 後安裝 finlab、numpy、scipy、pandas、matplotlib 就能重現全部數字與圖表；想先在雲端試玩，用上面的 Colab 檢測器即可。

LPPLS 擇時可以取代買進持有嗎？

以本文回測來看不行。擇時版 CAGR 23.93% 低於買進持有的 25.05%，最大回撤完全相同，唯一一次出場還是誤報。在出現更密集、更可靠的訊號設計之前，它不該取代任何核心持股決策。

這個指標多久更新一次比較合理？

本文每 5 個交易日計算一次（19 個窗格全部重新擬合）。LPPL 描述的是以週到月為尺度的泡沫結構，逐日重算對訊號的改變很小，反而增加運算成本。

延伸閱讀

• 量化交易完整指南：把訊號變成系統化策略的入門路徑
• LPPLS 泡沫選股策略：同一模型的個股應用，全市場近 400 萬次偵測
• VIX 美股大跌投資法：恐慌指數抄底的回測實證
• 融資維持率 0050 擇時：另一個大盤級風控訊號的實測
• 台股選股方法完整指南：從擇時回到選股的全景地圖
• 策略回測完整指南：上線前必讀的回測自我檢查

下載資源

投資警語：本文僅供教學參考，不構成投資建議。過去績效不代表未來表現，投資有風險。 LPPL 模型對崩盤時點的推估存在高度不確定性，請勿以本文任何訊號作為買賣依據；實際交易前請自行評估風險承受能力、滑價與資金容量。

最後更新：2026-06｜回測區間：2018-01 至 2026-06（數據截至 2026-06-09）｜作者：FinLab 量化研究團隊（經量化研究員審閱）