台股相關性分析：Python 相關係數正確算法，
配對交易實測年化 -1.04%

2020 年這篇文章用 Python 算出「台股與英國 Cboe UK 100 相關係數高達 0.9」。六年後我們用同一套工具重算，發現這個結論建立在一個常見的方法錯誤上：拿價格水準（而非報酬率）計算相關係數。修正算法之後，台股真正的好兄弟換人了，而「高相關就能做配對交易」這個直覺，也被一次扣足成本的回測潑了冷水。

重算後的關鍵數字

資料快照：2026-06-09。所有數字可用文末的 完整回測腳本 重現。

相關係數是什麼？從天氣與冰棒說起

想像有人每天記錄「氣溫」與「冰棒銷量」：天氣越熱、冰棒賣得越多，把每天的觀測畫成散布圖，點會排成一條往右上的帶狀。再記錄「氣溫」與「感冒人數」，點會往右下排列；換成「氣溫」與「擲筊結果」，點就會散成一團毫無方向。相關係數做的事，是把這三張圖各自壓縮成一個 -1 到 +1 之間的數字。

皮爾森（Pearson）相關係數的定義是共變異數除以兩者標準差的乘積：

$\rho_{X,Y}=\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\,\sigma_Y}$

實際用樣本資料計算時的形式為：

$r_{xy}=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}\;\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2}}$

• $r = +1$：完全正相關，X 漲 Y 必漲。
• $r = -1$：完全負相關，X 漲 Y 必跌。
• $r = 0$：兩者的線性關係為零。

用 5 天報酬手算一次相關係數

以下是一個純教學示例（虛構數字，非任何真實股票）。假設股票甲與股票乙最近 5 天的日報酬率（%）如下：

兩檔的平均報酬都是 1%。把每天的報酬減去平均，得到甲的離差（+1, 0, -2, +2, -1）與乙的離差（0, +1, -3, +1, +1）。分子是離差逐日相乘再加總：$1\times0+0\times1+(-2)\times(-3)+2\times1+(-1)\times1=7$。分母是兩組離差平方和的開根號相乘：$\sqrt{10}\times\sqrt{12}=\sqrt{120}\approx 10.95$。所以：

$r=\frac{7}{10.95}\approx 0.64$

兩檔股票的日報酬相關約 0.64：同漲同跌的傾向明顯，但離「鎖在一起」還很遠。這個量級剛好和後面會看到的「台股 vs 韓國 KOSPI」差不多，可以當成讀相關係數的直覺錨點。

用價格算相關係數，是 2020 年這篇文章犯過的錯

舊版文章把全球指數的「收盤價」直接丟進 corr()，得到台股與 Cboe UK 100 相關 0.9 的結論。問題在於：股價是非定態（non-stationary）序列，長期都往上走。只要兩個市場這十年都在漲，價格水準的相關係數就會被共同的上升趨勢灌得很高，與「今天你漲我是否也漲」毫無關係。這正是計量經濟學說的虛假迴歸問題；Engle & Granger (1987)正是為了處理非定態序列之間的關係，才發展出共整合（cointegration）檢定，後文配對交易一節會再用到。

正確做法是先把價格轉成日報酬率（定態序列）再算相關。下圖把兩種算法放在同一份 2015-01～2026-06 的資料上對照：

落差有多誇張？用台股的兩個鄰居當例子（數字皆出自上圖同一份資料）：

台股和費城半導體指數的價格相關高達 0.99，因為兩者過去十年都被半導體大多頭推著走；但同一天的報酬相關只有 0.14。價格相關回答的是「我們是否搭著同一班長期趨勢的車」，報酬相關回答的才是「今天你跌我會不會跟著跌」。投資人關心的風險屬於後者。

台股的好兄弟是哪國指數？2026 年重算的答案是韓國

把 13 個全球主要指數的日報酬相關對台股排序（2015-01～2026-06），排行如下：韓國 KOSPI 0.68、日經 225 0.61、香港恆生 0.49、英國富時 100 0.32、德國 DAX 0.31、Cboe UK 100 0.30，而 S&P 500、那斯達克、費城半導體、道瓊全部只有 0.14～0.15。

韓國居冠很合理：兩個市場同處亞洲時區、同樣以科技出口為主、同樣高度受半導體景氣循環驅動，台積電與三星電子甚至是直接競爭對手。下圖把兩條指數疊在一起看：

有趣的是 2024 年之後兩條線明顯分岔（台股漲幅遠勝），但日報酬的同步性仍在：相關係數衡量的是「每天一起動的程度」，與「最後誰漲得多」是兩回事。

美股影響台股，但要看「前一晚」

那為什麼大家的體感是「美股大跌，台股隔天就慘」，數字上台股與 S&P 500 的相關卻只有 0.15？答案是時差。台股下午 1:30 收盤時，美股當天根本還沒開盤；「同一個日期」的兩筆報酬在時間上其實錯開了半天。把美股報酬往後移一個交易日再算，相關係數立刻跳上來：

費城半導體前一晚的走勢，是隔天台股開盤最有參考價值的單一指標（相關 0.49），這與台股市值高度集中在半導體供應鏈的結構一致。處理跨市場資料時若忽略時區對齊，連「美股影響台股」這麼明顯的關係都會被算成幾乎無關。

相關性不是定值：120 日滾動相關從 -0.39 擺到 +0.51

很多人把相關係數當成資產的固定屬性，這是第二個常見誤解。把台股與 S&P 500 的日報酬用 120 日視窗滾動計算，相關係數長期平均只有 0.14，但範圍從 -0.39 一路擺到 +0.51：

兩個現象值得注意。第一，每逢系統性危機（2020 年 3 月疫情股災、2024 年 8 月日圓套利平倉），滾動相關就會急速飆高，全球股市看起來「突然變得很同步」。Forbes & Rigobon (2002)指出這有一部分是統計機制使然：高波動時期會機械性地放大相關係數的估計值，他們校正異質變異數後發現，1997 亞洲金融風暴等危機中許多市場間並沒有真正的傳染效果，只有原本就存在的相互依賴。第二，分散風險最需要低相關的時候（崩盤），往往正是相關性最高的時候。做資產配置時若用單一一個歷史相關係數來估計分散效果，會系統性高估組合在危機中的保護力，這也是 SPY 搭配 TLT 這類股債組合需要實際回測而非紙上推算的原因。

Python 實作：pandas 三行算出相關係數矩陣

抓資料的部分可以參考用 yfinance 一次抓取全球指數的教學，或全球指數歷史資料下載那篇的爬蟲版本。資料到手後，計算相關係數矩陣只需要先轉報酬率、再呼叫 .corr()：

import yfinance as yf
 
tickers = ["^TWII", "^GSPC", "^KS11", "^N225", "^FTSE"]
px = yf.download(tickers, start="2015-01-01", auto_adjust=True)["Close"]
 
returns = px.pct_change()   # 關鍵一步:先把價格轉成日報酬率
corr = returns.corr()       # 兩兩相關係數矩陣(對稱,對角線為 1)
print(corr.round(2))

順帶修正舊版文章的一個錯誤：熱力圖套件的名稱是 seaborn，安裝指令是 pip install seaborn（舊文誤寫成 pip install sns，sns 只是社群慣用的匯入別名）。畫熱力圖與滾動相關：

import seaborn as sns
import matplotlib.pyplot as plt
 
# 相關係數熱力圖
sns.heatmap(corr, annot=True, square=True, vmax=1.0, cmap="RdYlBu_r")
plt.show()
 
# 120 日滾動相關:觀察相關係數隨時間的變化
pair = returns[["^TWII", "^GSPC"]].dropna()
rolling = pair["^TWII"].rolling(120).corr(pair["^GSPC"])
rolling.plot()

auto_adjust=True 會回傳還原權息的調整後收盤價，這點對台股尤其重要：台股除權息頻繁，若用未調整價格，每年除息日都會出現一根人造的下跌，污染報酬率與相關係數的估計。

從相關性到配對交易：高相關不等於會均值回歸

相關性研究最自然的策略延伸是配對交易（pair trading）：找兩檔走勢高度連動的股票，當價差罕見地拉開時，作多落後的、放空超漲的，賭價差會收斂。Gatev, Goetzmann & Rouwenhorst (2006)檢驗了這個華爾街老牌策略在美股 1962～2002 年的表現：年化超額報酬最高約 11%，且與市場報酬幾乎無關；但他們同時記錄了報酬在樣本後期明顯衰退，這個伏筆跟我們的台股實測結果直接相關。

這裡有個關鍵的觀念分野：兩檔股票報酬相關很高，只代表它們「每天往同方向動」，並不保證價差拉開後會收斂回來。要檢驗「價差會均值回歸」，需要的是共整合檢定。Engle-Granger 方法先對兩檔股票的對數價格跑迴歸：

$\ln P_t^{A} = \alpha + \beta \ln P_t^{B} + \varepsilon_t$

再檢定殘差 $\varepsilon_t$ 是否定態。若通過檢定（p 值夠小），表示兩者間存在長期均衡關係，價差（spread）$s_t = \ln P_t^{A} - \beta \ln P_t^{B}$ 偏離後傾向回到均值，這才是配對交易可以收割的性質。進出場訊號用價差的標準化分數：

$z_t=\frac{s_t-\mu_{60}(s)}{\sigma_{60}(s)}$

其中 $\mu_{60}$、$\sigma_{60}$ 是 60 日滾動平均與標準差。$|z|>2$ 表示價差罕見地拉開（進場），$z$ 回到 0 表示價差收斂（出場）。

台股金控配對交易回測：扣完成本年化 -1.04%

配對交易要求兩檔標的業務同質性極高，台股最天然的實驗場是金控股。回測設計如下：

• 股票池：14 檔金控股（2880～2892、5880；新光金 2025 年併入台新金後資料自然截止）。
• 形成期（每半年重選）：取進場前 252 個交易日，要求日報酬相關 > 0.6 且 Engle-Granger 共整合 p < 0.05，依 p 值取最小的 5 組配對。
• 交易期：價差用形成期 OLS 估計的對沖比 $\beta$ 計算，60 日滾動 z-score，$|z|>2$ 進場（作多便宜腿、放空貴腿各 50% 部位），z 回到 0 或交易期結束時出場。
• 成本：手續費 0.1425%（買賣與融券雙邊）、證交稅 0.3%（現股賣出與融券放空時）、借券成本年化 1%（估計值）。
• 基準：0050 還原價買進持有（純指數算術，不含交易成本）。

walk-forward 跑完 2018-01～2026-06 共 17 個半年期、84 筆來回交易，結果：

策略確實做到了教科書承諾的市場中性：與 0050 的日報酬相關只有 0.03，2022 年大盤回撤 -33.96% 時策略幾乎無感。但它沒做到的是賺錢。這不是參數挑壞了的個案：把形成期相關門檻從 0.6 收緊到 0.8，8 年半只剩 9 筆交易（85% 的日子空手），CAGR -1.21%、日夏普 -0.59，更糟。

範例交易：富邦金與元大金

2026 上半年入選的配對之一是富邦金（2881）／元大金（2885）：形成期報酬相關 0.71、共整合 p 值 0.0104。2026 年 1 月初價差 z-score 跌破 -2（富邦金相對元大金罕見便宜），策略作多富邦金、放空元大金；之後 z 值在 -2 附近徘徊近五個月，直到 5 月底才回到 0 出場：

這筆交易最後有收斂、有獲利，但耗時五個月，期間借券成本一路滴水穿石。84 筆交易中還有 19 筆到交易期結束都沒等到收斂，期末強制出場。

成本拆解：毛利太薄，稅與借券費吃光一切

零成本版總報酬 +12.0%、含成本版 -8.4%，中間約 20 個百分點的差距全是摩擦成本。逐項拆：零成本對照版 8.4 年總報酬僅 +12.0%，平攤 84 筆交易後每筆的毛利貢獻極薄，而每筆來回交易的固定成本就要約 0.585%（雙腿手續費 0.285% 加證交稅 0.3%）；持倉期間空方部位另付年化約 1% 的借券費，遇上像富邦金／元大金那種五個月才收斂的交易，毛利再被啃掉一層。Gatev 等人在美股觀察到的報酬衰退，在台股疊加了證交稅與融券限制（平盤下放空限制、強制回補、停券期），對散戶資金規模而言，這套經典策略在 2018 年後的台股金控股上行不通。我們選擇把這個負面結果完整發布，因為它和量化交易的缺點與風險那篇講的是同一件事：回測的價值有一半在於告訴你哪些直覺其實賺不到錢。

想看多空對沖在台股的其他玩法，可以參考用 finlab 做多空對沖回測的教學。

回測方法與限制

用 finlab 找你自己的配對

上面所有結論都可以用 pip install finlab 重現。下面這段程式掃描金控股中目前通過雙重檢定（報酬相關 + 共整合）的配對：

import numpy as np
import finlab
from finlab import data
from statsmodels.tsa.stattools import coint
 
finlab.login()   # 第一次使用會自動引導登入
 
adj = data.get("etl:adj_close")   # 還原股價(已調整除權息)
holdings = ["2880", "2881", "2882", "2884", "2885",
            "2886", "2887", "2890", "2891", "2892", "5880"]
prices = adj[holdings].dropna().iloc[-252:]   # 最近一年
 
returns = prices.pct_change()
logp = np.log(prices)
 
for i, a in enumerate(holdings):
    for b in holdings[i + 1:]:
        corr = returns[a].corr(returns[b])
        _, pvalue, _ = coint(logp[a], logp[b])
        if corr > 0.6 and pvalue < 0.05:
            print(f"{a}/{b}  報酬相關 {corr:.2f}  共整合 p={pvalue:.4f}")

完整的 walk-forward 回測（含成本計算與所有圖表數據）在可下載的 strategy.py，歡迎改參數驗證我們的負面結論。相關性矩陣這項工具本身仍然非常有用：多因子選股要挑彼此低相關的因子、多策略資產配置要挑彼此低相關的策略，原理都和本文第一段的計算完全相同。想系統性入門，可以從量化交易完整指南與程式交易入門教學接著讀。

常見問題

相關係數多少算高？

沒有放諸四海皆準的門檻，要看資產類別與用途。以日報酬而言，台股與韓國 KOSPI 的 0.68 已是跨國指數中的極高值；同市場、同產業的個股（如金控股之間）常見 0.6～0.8；要做配對交易，光高相關不夠，還需要通過共整合檢定。

台股和美股的相關性高嗎？

同日相關很低（與 S&P 500 約 0.15），因為台股收盤時美股還沒開盤。改用美股前一個交易日的報酬計算，相關升到 0.43；其中費城半導體前一晚與台股今天的相關最高（0.49）。所以「美股昨晚大跌、台股今天容易跌」在統計上成立，但兩者同一天的走勢關係不大。

為什麼要用報酬率算相關係數，用價格會怎樣？

價格是非定態序列，只要兩個市場長期都上漲，價格相關就會被共同趨勢灌高：台股與費城半導體的價格相關 0.99，日報酬相關卻只有 0.14。用價格算出的高相關反映的是「都在多頭」，無法回答「今天你跌我會不會跌」。

配對交易在台股可行嗎？

以本文的金控股實測（2018-01～2026-06），策略毛利為正（零成本 CAGR +1.35%）但扣掉手續費、證交稅與借券成本後年化 -1.04%。台股的證交稅對高周轉、薄利潤的策略特別不友善，加上融券有平盤下放空限制與強制回補，散戶條件下這套經典做法不可行；成本結構不同的法人（借券費率低、可用期貨對沖）結論可能不同。

相關性高的兩檔股票就能做配對交易嗎？

高相關只代表兩檔每天往同方向動，價差仍可能一去不回（例如兩家公司基本面分道揚鑣）。配對交易賭的是價差均值回歸，對應的統計性質是共整合，需要用 Engle-Granger 等方法另外檢定。本文回測同時要求報酬相關 > 0.6 與共整合 p < 0.05。

pandas 怎麼計算相關係數？

把價格 DataFrame 先 pct_change() 轉成報酬率，再呼叫 .corr() 即可得到兩兩相關矩陣；單獨兩條序列用 s1.corr(s2)。滾動相關用 s1.rolling(120).corr(s2)。記得先把不同市場的交易日對齊（dropna()），否則缺值會默默扭曲結果。

負相關的資產有什麼用？

組合波動取決於成分資產的相關結構：加入低相關甚至負相關的資產，能在不犧牲太多報酬下明顯降低波動，這是投資組合最佳化的核心。但要留意本文滾動相關一節的教訓：相關係數在危機時會集體飆高，平時的負相關到崩盤時未必還在，VIX 恐慌指數那篇對危機行為有更多著墨。

這篇的結論會更新嗎？

會。本文數據快照為 2026-06-09，依本站慣例每季用同一腳本重跑；若金控配對交易的成本後績效轉正，或台股相關性排行有結構性變化，會在此頁據實更新。

延伸閱讀

• 量化交易完整指南：從零開始的系統化路徑
• 台股選股方法總覽：基本面、技術面、籌碼面方法一次看
• 用 yfinance 抓取全球指數資料：本文 Part A 的資料來源教學
• SPY 加 TLT 低風險投資組合：負相關資產配置的實例
• 量化名詞不熟？查詞彙表：相關係數、夏普比率等定義

投資警語：本文僅供教學參考，不構成投資建議。過去績效不代表未來表現，投資有風險。融券放空另有強制回補、停券與借券費率變動等風險，請審慎評估自身風險承受能力。

最後更新：2026-06｜回測區間：2018-01～2026-06（金控配對交易）、2015-01～2026-06（全球指數相關性，資料快照 2026-06-09）｜作者：FinLab 量化研究團隊（經量化研究員審閱）